Kurvor med splines

Skrivet av: Kim    Inga kommentarer

I matematiken är en spline-kurva en funktion som låter oss bygga upp en kurva med hjälp av ett antal sammanfogade polynom. Givet ett antal kontrollpunkter kan en interpolerande kurva byggas upp som slingrar sig igenom punkterna. Kurvan behöver dock inte nödvändigtvis passera igenom alla punkter, en sådan kurva kallas approximerande kurva.

Linjära, kvadratiska och kubiska splines

En Spline är uppbyggd av ett antal polynom när graden på polynomet avgör karaktären och utseendet på kurvan. Vanligtvis används tredjegradspolynom till splines på grund av dess mjuka och hanterbara struktur. Dessa splines kallas kubiska splines. På samma sätt kallas splines av andragradspolynom kvadratiska splines och förstgradspolynom bildar linjära splines.

Kontinuitet

Det är inte helt trivialt att matcha ihop olika polynom till en längre kurva och samtidigt få dem att passa ihop. Det som avgör hur bra matchningen är kallas kontinuitet och är ett slags mått på hur jämn kurvan blir i en skarv mellan två kontrollpunkter. Kontinuiteten på en kurva kan vara C₀ som lägst, C₁ eller C₂ som är den högsta graden.

C₀-kontinuitet

För att en kurva ska ha C₀-kontinuitet krävs det endast att samtliga delpolynom är sammansatta. Det vill säga att det inte blir något glapp mellan delsektionerna.

C₁-kontinuitet

En kurva med C₁-kontinuitet är en kurva som inte bara är sammansatt utan även har samma lutning (derivata) i skarvpunkterna.

C₂-kontinuitet

För att få C₂-kontinuitet på sin kurva krävs det att sektionerna sitter ihop C₀, att skarvarna har samma lutning C₁ och dessutom att kurvaturen är samma, det vill säga har samma andraderivatan i skarpunkterna.