Mandelbrotfraktal

Skrivet av: Kim    1 Kommentar

Liksom för de flesta fraktaler är själva ekvationen som skapar själva mandelbrotfraktalen mycket enkel. Detta säger absolut inte att det enhetliga resultatet är enkelt att förstå. När man pratar om fraktaler resulterar en enkel algoritm nästan alltid i ett oerhört komplext beteende som inte alls är lätt att förstå. Mandelbrotmängden är den mängd punkter c i det komplexa talplanet som inte gör att x_n går mot oändligheten i ekvationen nedan.

x_n+1 = x_n² + c

x₀ initieras som 0 och x_n+1 är det föregående resultat. Ekvationen skapar alltså en rekursiv talföljd som möjligtvis konvergerar till oändligheten. Det går att bevisa att om absolutbeloppet av x_n är större än 2, så kommer serien alltid att konvergera till oändligheten. Det är naturligtvis omöjligt att iterera ett oändligt antal gånger för att undersöka detta, därför brukar man definiera en konstant tmax som avgör hur länge iterationen pågår. Om x_n inte hunnit blivit större än 2 under tmax iterationen, antas punkten c finnas inom mandelbrotmängden.

Enkel algoritm för att rita mandelbrotfraktaler:

1. För varje tal c inom ett valt område på det komplexa talplanet:

1.1. Låt Xo = 0

1.2. För varje tal mellan t = 1 till tmax:

1.2.1. Beräkna xt = xt^2 +c

1.2.2. Om |xt| > 2, avsluta loopen

1.3. Om t < tmax, färga koordinaten vid c vit

1.4. Om t = tmax, färga koordinaten vid c svart

Färgläggning

Naturligtvis behöver mandelbrotfraktaler inte alltid vara svart-vita. Olika färger kan lätt väljas med hjälp av funktioner som är beroende av antalet iterationer. De enklaste funktionerna normaliserar antalet iterationer så att tmax får färgvärdet 255 . Sätts röd, grön och blå till samma värde uppstår tex en grå nyans. Det går även att experimentera med sinus – och cosinusfunktioner men dessa fraktaler blir sällan bra. De vackraste fraktalerna är nästan uteslutande genererade från färghistogram och anledningen till att dessa blir bra är att övergången mellan att tillhöra mandelbrotmängden eller inte tillhöra är väldigt hastig. Om man betraktar hela mandelbrotfraktalen så sker de stora förändringarna längs fraktalkanterna och resten av den yttre ytan består av ett mycket litet antal iterationer. Resultatet blir om man vill ha en fraktal med mjuka färger så måste färgerna skifta ofta vid ett litet antal iterationer och sällan vid ett stort antal. Det går även att åstadkomma liknande utseende med olika exponentiella färgfunktioner, men med färghistogram man man ändra gränserna precis som man vill.

Mandelbrotfraktal

[ad#Kims länkenhet]